1991 · 数学一 · 第 14 题 · 解答题

在过点

O (0, 0)

和

A (π, 0)

的曲线族

y = a sin x

（

a > 0

）中，求一条曲线

L

，使沿该曲线从

O

到

A

的积分

\int_{L} (1 + y^{3}) d x + (2 x + y) d y

的值最小。

答案

$L : y = sin x (0 \leq x \leq π)$

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沿 $y = a sin x$ 有 $d y = a cos x d x$ 。线积分化为

I (a) = \int_{0}^{π} [1 + a^{3} sin^{3} x + (2 x + a sin x) a cos x] d x = π + \frac{4}{3} a^{3} - 4 a .

在 $a > 0$ 上， $I^{'} (a) = 4 (a^{2} - 1)$ ，唯一驻点为 $a = 1$ 。此处 $I^{''} (1) = 8 > 0$ ，且端点趋势不产生更小值，故所求曲线为 $y = sin x$ ，最小积分值为 $π - \frac{8}{3}$ 。