2011 · 数学二 · 第 1 题 · 选择题

已知当

x \to 0

时，

f (x) = 3 sin x - sin 3 x

与

c x^{k}

是等价无穷小，则（　　）。

A
$k = 1, c = 4$
B
$k = 1, c = - 4$
C
$k = 3, c = 4$
正确答案
D
$k = 3, c = - 4$

答案

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（1）等价要求 $\frac{f ( x )}{( c x ^{k} )} \to 1$ ，因此应找出 $f$ 的首个非零主项。展开得 $3 sin x = 3 x - \frac{x ^{3}}{2} + o (x^{3})$ 、 $sin 3 x = 3 x - \frac{9 x ^{3}}{2} + o (x^{3})$ ，相减有 $f (x) = 4 x^{3} + o (x^{3})$ 。
（2）故 $k = 3, c = 4$ ，选 C。A、B 中的一阶幂与 $f$ 之比趋于零，D 的负系数使比值趋于 $- 1$ ，均不符合等价条件。代入 $3 x$ 时三次项要带 $(3 x)^{3}$ ，不能漏掉因子 $27$ 。

用洛必达法则计算三阶比值：

x \to 0 lim \frac{3 sin x - sin 3 x}{x ^{3}} = x \to 0 lim \frac{cos x - cos 3 x}{x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{- sin x + 3 sin 3 x}{2 x} = \frac{- 1 + 9}{2} = 4.

末项利用 $\frac{sin x}{x} \to 1$ 、 $\frac{sin 3 x}{x} \to 3$ ，导数比极限存在；此前两次均为 $\frac{0}{0}$ 型。因此 $f (x) \sim 4 x^{3}$ ，选 C。

由三倍角恒等式 $sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x$ ，直接得 $f (x) = 4 sin^{3} x \sim 4 x^{3}$ 。所以 $k = 3, c = 4$ ，选 C。先用恒等式消去差，再对乘积使用等价替换，避免一次主项相消造成信息丢失。