由 $x^n=x^{n+1}$ 得交点横坐标为 $0,1$。对 $n=1,2,\dots$，两曲线围成的有界区域位于 $0\le x\le 1$，且该区间上 $x^n\ge x^{n+1}$。

因此 $a_n={\int }_0^1(x^n-x^{n+1})\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$。

前 $N$ 项和为 $\sum _{n=1}^N{a}_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{N+2}$。令 $N\to \infty$，得到第一问所求 $S_1=\frac{1}{2}$。

由第一问的面积公式，$a_{2n-1}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}$，所以 $S_2=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots$。

设交错调和级数的前 $2N+1$ 项和为 $H_{2N+1}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +\frac{1}{2N+1}$，则 $\sum _{n=1}^N{a}_{2n-1}=1-H_{2N+1}$。由 $H_{2N+1}\to \ln 2$，得到 $S_2=1-\ln 2$。