（1）计算左导数。由 $x\le 0$ 时 $f(x)=x$，得 $f(0)=0$，且 $f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{[f(x)-f(0)]}{x}=1$。
（2）估计右侧差商。区间 $(\frac{1}{(n+1)},\frac{1}{n}]$ 两两不交且覆盖 $(0,1]$。因此对每个充分小的 $x>0$，存在唯一正整数 $n$ 满足 $\frac{1}{(n+1)}<x\le \frac{1}{n}$，此时 $f(x)=\frac{1}{n}$。当 $x\to 0^{+}$ 时，该 $n\to \infty$。原不等式乘以 $n>0$ 再取倒数，得

（3）夹逼取极限。右端趋于 $1$，故夹逼准则给出 $f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$。左右导数相同，所以 $f$ 在 $0$ 处可导且 $f^{\prime }(0)=1$，选 D。可导必连续，故 A、B 所称间断及 C 所称不可导均不成立；其他点的跳跃不影响这个差商结论。