1990 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

已知线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = a 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} - 3 x_{5} = 0 x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} + 6 x_{5} = b 5 x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3} + 3 x_{4} - x_{5} = 2

，回答下列问题。

答案

$a = 1, b = 3$

${(1, - 2, 1, 0, 0)^{T}, (1, - 2, 0, 1, 0)^{T}, (5, - 6, 0, 0, 1)^{T}}$

$x = (- 2, 3, 0, 0, 0)^{T} + s (1, - 2, 1, 0, 0)^{T} + t (1, - 2, 0, 1, 0)^{T} + u (5, - 6, 0, 0, 1)^{T}, s, t, u \in R$

查看解析展开

记四个方程的系数行为 $R_{1}, R_{2}, R_{3}, R_{4}$ 。直接比较可得

R_{3} = 3 R_{1} - R_{2}, R_{4} = 2 R_{1} + R_{2} .

常数项必须满足相同关系，故 $b = 3 a$ 且 $2 = 2 a$ 。于是方程组有解当且仅当 $a = 1, b = 3$ 。

导出组只有前两条独立约束。令 $x_{3} = s, x_{4} = t, x_{5} = u$ ，由

x_{1} + x_{2} = - s - t - u, 3 x_{1} + 2 x_{2} = - s - t + 3 u

解得

x_{1} = s + t + 5 u, x_{2} = - 2 s - 2 t - 6 u .

分别令 $(s, t, u) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ ，得到基础解系

(1, - 2, 1, 0, 0)^{T}, (1, - 2, 0, 1, 0)^{T}, (5, - 6, 0, 0, 1)^{T} .

当 $a = 1, b = 3$ 时， $(- 2, 3, 0, 0, 0)^{T}$ 是一个特解。

因此全部解为

x = (- 2, 3, 0, 0, 0)^{T} + s (1, - 2, 1, 0, 0)^{T} + t (1, - 2, 0, 1, 0)^{T} + u (5, - 6, 0, 0, 1)^{T},

其中 $s, t, u \in R$ 。