记 $P={\mathrm{e}}^{x^2}\sin x-2xy$、$Q=6x-x^2-y{\cos }^{4}y$，两函数在全平面光滑，且 $P_y=-2x$、$Q_x=6-2x$，故 $Q_x-P_y=6$。
端点 $A,B$ 在椭圆上且关于原点对称，弦 $AB$ 是过中心的直线 $y=x$，将椭圆盘平分。参数 $x=\cos t$、$y=\frac{\sin t}{\sqrt{3}}$ 随 $t$ 增大沿逆时针方向；从 $A$ 到 $B$ 对应 $\frac{4\pi }{3}\le t\le \frac{7\pi }{3}$，经过最右点 $(1,0)$，所以原弧位于 $y\le x$ 一侧。
补上由 $B$ 沿弦返回 $A$ 的线段 $L_0$，闭路为半椭圆区域 $D:x^2+3y^2\le 1,y\le x$ 的正向边界。椭圆半轴为 $1,\frac{1}{\sqrt{3}}$，故 $|D|=\frac{\pi }{(2\sqrt{3})}$。由格林公式，

补线上令 $x=y=s$，则 $\mathrm{d}x=\mathrm{d}y=\mathrm{d}s$，$s$ 从 $\frac{1}{2}$ 变到 $-\frac{1}{2}$，补线积分为

前三项均为奇函数，在对称区间上的积分为零。注意积分方向，剩下

因此 $I=\sqrt{3}\pi -I_0=\sqrt{3}\pi -\frac{1}{4}$。