由 ${\alpha }_1=2{\alpha }_2-{\alpha }_3$，有 $\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4=3{\alpha }_2+{\alpha }_4$。

方程 $Ax=\beta$ 展开为 $(2x_1+x_2){\alpha }_2+(-x_1+x_3){\alpha }_3+x_4{\alpha }_4=3{\alpha }_2+{\alpha }_4$。

由于 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，得到 $2x_1+x_2=3,-x_1+x_3=0,x_4=1$。令 $x_1=t$，即得 $x=(t,3-2t,t,1{)}^T,t\in \mathbb{R}$。