2011 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

求极限

x \to 0 lim \frac{1 + 2 sin x - x - 1}{x ln ( 1 + x )}

。

答案

$- \frac{1}{2}$

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（1） $x ln (1 + x) = x^{2} + o (x^{2})$ ，故分子需要保留到二阶。令 $s = 2 sin x = 2 x + o (x^{2})$ ，则 $s^{2} = 4 x^{2} + o (x^{2})$ 。由二项式展开，

1 + s = 1 + \frac{s}{2} - \frac{s ^{2}}{8} + o (s^{2}) = 1 + x - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2}) .

（2）相减后常数和一次项消失，分子为 $- \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ ，因此

x \to 0 lim \frac{1 + 2 sin x - x - 1}{x ln ( 1 + x )} = x \to 0 lim \frac{- \frac{x ^{2}}{2} + o ( x ^{2} )}{x ^{2} + o ( x ^{2} )} = - \frac{1}{2} .

零点附近根号内为正、 $1 + x > 0$ ，上述双侧展开合法。

将分子有理化，得

\frac{1 + 2 sin x - ( 1 + x )}{x ln ( 1 + x )} = \frac{2 ( sin x - x ) - x ^{2}}{[ 1 + 2 sin x + 1 + x ] x ln ( 1 + x )} .

由 $sin x - x = - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3}) = o (x^{2})$ ，分子为 $- x^{2} + o (x^{2})$ ；共轭因子趋于 $2$ ，且 $x ln (1 + x) \sim x^{2}$ 。所以极限为 $- \frac{1}{2}$ 。有理化后仍须说明 $sin x - x = o (x^{2})$ ，仅用 $sin x \sim x$ 不够。