（1）$Ax=0$ 的基础解系仅含一个向量，故 $4-r(A)=1$，即 $r(A)=3$。由伴随矩阵的秩公式，$r(A^{\ast })=1$，所以 $A^{\ast }x=0$ 的解空间维数为 $4-1=3$。A、B 只给两个向量，不能构成基础解系。
（2）由于 $|A|=0$，有 $A^{\ast }A=|A|E=O$，按列展开得 $A^{\ast }{\alpha }_j=0$，$j=1,2,3,4$。因此四个列向量都是所求齐次方程组的解。
（3）由已知解 $(1,0,1,0{)}^T$ 得 ${\alpha }_1+{\alpha }_3=0$。所以 C 中的三个向量线性相关，不能构成基础解系。而 ${\alpha }_1=-{\alpha }_3$，删去第一列不改变列向量组的秩，故

这三个向量是三维解空间中的三个线性无关的解，构成基础解系，选 D。