2008 · 数学一 · 第 19 题 · 解答题

设

f (x) = 1 - x^{2} (0 \leq x \leq π)

展开成（以

2 π

为周期的）余弦级数，并求级数

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}}

的和。

答案

余弦级数为 $f (x) = 1 - \frac{π ^{2}}{3} + 4 n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}} cos n x$ ，且 $n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{12}$

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按半区间余弦展开， $a_{0} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} (1 - x^{2}) d x = 2 - \frac{2 π ^{2}}{3}$ ，所以常数项为 $\frac{a _{0}}{2} = 1 - \frac{π ^{2}}{3}$ 。

对 $n \geq 1$ ， $\int_{0}^{π} cos n x d x = 0$ ，且 $\int_{0}^{π} x^{2} cos n x d x = \frac{2 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ 。因此 $a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} (1 - x^{2}) cos n x d x = \frac{4 ( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}}$ 。

故

1 - x^{2} = 1 - \frac{π ^{2}}{3} + 4 n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}} cos n x

（ $0 \leq x \leq π$ ）。

令 $x = 0$ ，得到

1 = 1 - \frac{π ^{2}}{3} + 4 n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}}

，解得该级数的和为 $\frac{π ^{2}}{12}$ 。