1996 · 数学三 · 第 5 题 · 填空题

一实习生用同一台机器接连独立地制造

3

个同种零件，第

i

个零件是不合格品的概率

P_{i} = \frac{1}{i + 1}

（

i = 1, 2, 3

）。以

X

表示

3

个零件中合格品的个数，则

P {X = 2} =

。

答案

$\frac{11}{24}$

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三个零件的不合格概率依次为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，合格概率依次为 $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$ 。事件 $X = 2$ 等价于恰有一个不合格品。

利用独立性并按不合格品的位置分类：

P {X = 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{11}{24} .