二次型的对称矩阵为

。令 $u=\frac{(x_1-x_2)}{\sqrt{2}},v=\frac{(x_1+x_2)}{\sqrt{2}}$，则 $v$ 对应的特征值为 $a$，而 $u,x_3$ 对应的二阶块为

。

该二阶块的特征方程给出 $\frac{(2a-1)\pm 3}{2}$，即 $a+1$ 与 $a-2$。所以全部特征值为 $a-2,a,a+1$。

规范形 $y_1^2+y_2^2$ 的惯性为：两个正平方项、一个零项。因此第一问所得特征值 $a-2,a,a+1$ 中必须恰有一个为零，且另外两个为正。

逐一检查零特征值的可能性：$a=0$ 时有特征值 $1,-2,0$；$a=-1$ 时有 $-3,-1,0$；$a=2$ 时有 $0,2,3$。只有 $a=2$ 具有两个正特征值和一个零特征值，故答案为 $2$。