$a=0$

可取$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right)$，$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -2& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

矩阵为块上三角形，左上二阶块的特征值为 $6,-2$，右下角另有特征值 $6$。所以 $6$ 的代数重数为 2，$-2$ 的代数重数为 1。

解 $(A-6E)v=0$ 时，方程给出 $v_2=2v_1$ 以及 $a{v}_3=0$。当 $a\ne 0$ 时，$6$ 的特征空间维数为 1，不能对角化；当 $a=0$ 时，维数为 2。

故 $A$ 相似于对角阵的充要条件为 $a=0$。

由第一问知 $a=0$。此时，取 $-2$ 对应的特征向量 $v_1=(1,-2,0{)}^T$，以及 $6$ 对应的特征向量 $v_2=(1,2,0{)}^T$、$v_3=(0,0,1{)}^T$。

令

，则 $\det P=4\ne 0$。

取

，有 $AP=P\Lambda$，所以 $P^{-1}AP=\Lambda$。