2002 · 数学一 · 第 7 题 · 选择题

设

u_{n} \neq = 0 (n = 1, 2, 3, \dots)

，且

n \to \infty lim \frac{n}{u _{n}} = 1

，则级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n + 1} (\frac{1}{u _{n}} + \frac{1}{u _{n + 1}})

（　　）。

答案

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令 $a_{n} = \frac{1}{u _{n}}$ 。由 $\frac{n}{u _{n}} \to 1$ ，有 $n a_{n} \to 1$ ，故 $a_{n} \sim \frac{1}{n} \to 0$ 。

前 $N$ 项和为

S_{N} = n = 1 \sum N (- 1)^{n + 1} a_{n} + n = 1 \sum N (- 1)^{n + 1} a_{n + 1} = a_{1} + (- 1)^{N + 1} a_{N + 1}

，中间各项完全抵消。因此 $S_{N} \to a_{1}$ ，级数收敛。

又因 $a_{n} + a_{n + 1} \sim \frac{2}{n}$ ，其绝对值级数发散，所以原级数为条件收敛，选 C。