若 $a=b$，两边积分都为零，取 $\xi =a$ 即得结论。以下设 $a<b$。由连续性，$f$ 在 $[a,b]$ 上取得最小值和最大值，记为 $m$ 与 $M$。

因 $g(x)>0$，逐点不等式 $m\le f(x)\le M$ 乘以 $g(x)$ 并积分，得到

。又因 $g$ 连续且为正，${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x>0$。

除以 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 后，$\frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x}{{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x}\in [m,M]$。连续函数 $f$ 在闭区间上的值域为 $[m,M]$，故存在 $\xi \in [a,b]$ 使 $f(\xi )$ 等于该比值，移项即得题中等式。