（1）在$0$附近$1+t\sin t>0$，被积函数连续，分子、分母均趋于零。由$1-\cos (x^2)\sim \frac{x^4}{2}$，所求极限化为$2\underset{x\to 0}{\lim }{x}^{-4}{\int }_0^{x}t\ln (1+t\sin t)\mathrm{d}t$。
（2）对这个$\frac{0}{0}$型极限用洛必达法则，得到

$$\begin{array}{rl}L& =2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\ln (1+x\sin x)}{4x^3}\\ & =\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x\sin x)}{x\sin x}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{2}.\end{array}$$

这里分母$x^4$的导数在$x\ne 0$处非零，且两个因子的极限均为$1$，故洛必达法则的条件满足。

当$t\to 0$时，$\ln (1+t\sin t)\sim t\sin t\sim t^2$，故$t\ln (1+t\sin t)=t^3+o(t^3)$。严格说明积分后的余项：给定$\epsilon >0$，充分小的$|t|$满足

$$|t\ln (1+t\sin t)-t^3|\le \epsilon |t{|}^3.$$

在$0$与$x$之间积分，对$x$的两侧均有

$$\left|{\int }_0^{x}t\ln (1+t\sin t)\mathrm{d}t-\frac{x^4}{4}\right|\le \frac{\epsilon |x{|}^4}{4}.$$

所以分子为$\frac{x^4}{4}+o(x^4)$。再由分母$1-\cos (x^2)\sim \frac{x^4}{2}$，得$L=\frac{1}{2}$。原被积函数为奇函数，其从$0$出发的积分为偶函数；不能把被积函数本身说成偶次幂结构。