（1）提出公因子，记 $u=x^2-2+2\cos x$，则 $e^{x^2}-e^{2-2\cos x}=e^{2-2\cos x}(e^u-1)$，其中 $e^{2-2\cos x}\to 1$。
（2）二阶项会相消，因此将余弦展开到四阶：$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$。于是

$$u=x^2-2+2\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\right)=\frac{x^4}{12}+o(x^4).$$

（3）由 $u\to 0$、$e^u-1\sim u$，有

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{x^2}-e^{2-2\cos x}}{x^4}=\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{2-2\cos x}\frac{e^u-1}{u}\frac{u}{x^4}=1\cdot 1\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{12}.$$

这里 $u\sim \frac{x^4}{12}$，所以在足够小的去心邻域内非零。不能仅以 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$ 替换，因为那样会丢失相减后决定答案的四阶项。