2024 · 数学二 · 第 19 题 · 解答题

（1）因 $t > 0$ ，曲线在 $[t, 2 t]$ 上为正。由圆盘法，平方半径后

V (t) = π \int_{t}^{2 t} (x e^{- x})^{2} d x = π \int_{t}^{2 t} x e^{- 2 x} d x .

（2）被积函数连续，直接按变限积分求导，不必先求原函数：

V^{'} (t) = π (4 t e^{- 4 t} - t e^{- 2 t}) = π t e^{- 4 t} (4 - e^{2 t}) .

由于 $π t e^{- 4 t} > 0$ ， $V^{'} (t) = 0$ 等价于 $e^{2 t} = 4$ ，即 $t = ln 2$ 。当 $0 < t < ln 2$ 时 $V^{'} (t) > 0$ ；当 $t > ln 2$ 时 $V^{'} (t) < 0$ ，故该点为整个 $(0, + \infty)$ 上的最大值点。
（3）分部积分得

\int x e^{- 2 x} d x V (t) = - \frac{x e ^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x = - \frac{( 2 x + 1 ) e ^{- 2 x}}{4} + C, = \frac{π}{4} [(2 t + 1) e^{- 2 t} - (4 t + 1) e^{- 4 t}] .

代入 $t = ln 2$ 及 $e^{- 2 l n 2} = \frac{1}{4}$ 、 $e^{- 4 l n 2} = \frac{1}{16}$ ，得

V_{m a x} = \frac{π}{4} [\frac{2 ln 2 + 1}{4} - \frac{4 ln 2 + 1}{16}] = \frac{( 4 ln 2 + 3 ) π}{64} .

答案