1989 · 数学一 · 第 13 题 · 解答题

计算三重积分

∭_{Ω} (x + z) d V

，其中

Ω

是由曲面

z = x^{2} + y^{2}

与

z = 1 - x^{2} - y^{2}

所围成的区域。

答案

$\frac{π}{8}$

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令 $x = r cos θ, y = r sin θ$ 。两曲面的交线满足 $r = 1 - r^{2}$ ，故 $r = \frac{1}{2}$ 。区域可写为

0 \leq θ \leq 2 π, 0 \leq r \leq \frac{1}{2}, r \leq z \leq 1 - r^{2} .

区域关于 $y z$ 平面对称，故 $∭_{Ω} x d V = 0$ 。于是

∭_{Ω} (x + z) d V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{r}^{1 - r^{2}} z r d z d r d θ = π \int_{0}^{\frac{1}{2}} r (1 - 2 r^{2}) d r = \frac{π}{8} .