1990 · 数学一 · 第 13 题 · 解答题

求微分方程

y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = e^{- 2 x}

的通解（一般解）。

答案

$y = e^{- 2 x} (C_{1} + C_{2} x + \frac{x ^{2}}{2})$

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记微分算子 $D = \frac{d}{d x}$ 。微分算子左端为 $(D + 2)^{2} y$ 。令 $y = e^{- 2 x} u (x)$ ，则 $(D + 2) y = e^{- 2 x} u^{'}$ ，从而 $(D + 2)^{2} y = e^{- 2 x} u^{''}$ 。

代入原方程得 $u^{''} = 1$ ，两次积分后 $u = \frac{x ^{2}}{2} + C_{2} x + C_{1}$ 。

所以通解为

y = e^{- 2 x} (C_{1} + C_{2} x + \frac{x ^{2}}{2}) .