由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=2$，可知 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$。又因 $f$ 连续，所以 $f(0)=0$。

于是

曲线在 $x=0$ 处的切线为 $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$，即 $y=2x$。