2023 · 数学一 · 第 13 题 · 填空题

设

f (x)

为周期为 2 的周期函数，且

f (x) = 1 - x, x \in [0, 1]

。若

f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty a_{n} cos nπ x

，则

n = 1 \sum \infty a_{2 n} =

。

答案

$0$

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展开式只含余弦，故 $f$ 是偶函数；结合周期为 $2$ ，可知 $f (x) = 1 - ∣ x ∣$ （ $- 1 \leq x \leq 1$ ），再周期延拓。该函数连续且分段单调，满足狄利克雷条件，其傅里叶级数在每一点都收敛到函数值。

（1）计算常数系数。由余弦系数公式， $a_{0} = 2 \int_{0}^{1} (1 - x) d x = 1$ 。

（2）在特殊点取值。在展开式中分别令 $x = 0$ 、 $x = 1$ ，得

\frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty a_{n} = 1, \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} a_{n} = 0.

两级数均收敛，可将相同长度的部分和相加后取极限；奇数下标项抵消，偶数下标项加倍，从而 $a_{0} + 2 n = 1 \sum \infty a_{2 n} = 1$ 。代入 $a_{0} = 1$ ，得 $n = 1 \sum \infty a_{2 n} = 0$ 。

直接计算余弦系数。对于 $n \geq 1$ ，

a_{n} = 2 \int_{0}^{1} (1 - x) cos (nπ x) d x = 2 \int_{0}^{1} cos (nπ x) d x - 2 \int_{0}^{1} x cos (nπ x) d x .

第一个积分为 $[\frac{sin ( nπ x )}{( nπ )}]_{0}^{1} = 0$ 。第二个分部积分，得

\int_{0}^{1} x cos (nπ x) d x = [\frac{x sin ( nπ x )}{nπ}]_{0}^{1} - \frac{1}{nπ} \int_{0}^{1} sin (nπ x) d x = \frac{( - 1 ) ^{n} - 1}{n ^{2} π ^{2}} .

所以 $a_{n} = \frac{2 [ 1 - ( - 1 ) ^{n} ]}{n ^{2} π ^{2}}$ ，即奇数下标时为 $\frac{4}{n ^{2} π ^{2}}$ ，正偶数下标时为零。因此 $a_{2 n} = 0$ （ $n \geq 1$ ），所求和为 $0$ 。

直接利用区间中点的对称性。由余弦系数公式，令 $x = \frac{1}{2} + t$ ，新积分区间为 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ ，且 $d x = d t$ 、 $cos (2 nπ x) = (- 1)^{n} cos (2 nπ t)$ ，故

a_{2 n} = 2 (- 1)^{n} \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} - t) cos (2 nπ t) d t .

其中 $\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} cos (2 nπ t) d t = [\frac{sin ( 2 nπ t )}{( 2 nπ )}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = 0$ ；而 $t cos (2 nπ t)$ 为奇函数，在对称区间上的积分也为零。因此 $a_{2 n} = 0$ ，所求和为 $0$ 。