1991 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为

p_{1}, p_{2}

，销售量分别为

q_{1}, q_{2}

，需求函数分别为

q_{1} = 24 - 0.2 p_{1}

和

q_{2} = 10 - 0.05 p_{2}

，总成本函数为

C = 35 + 40 (q_{1} + q_{2})

。

答案

$p_{1} = 80, p_{2} = 120$

$605$

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由需求函数反解得 $p_{1} = 120 - 5 q_{1}$ 、 $p_{2} = 200 - 20 q_{2}$ 。总利润为

Π = (120 - 5 q_{1}) q_{1} + (200 - 20 q_{2}) q_{2} - 35 - 40 (q_{1} + q_{2}) .

整理得 $Π = 80 q_{1} - 5 q_{1}^{2} + 160 q_{2} - 20 q_{2}^{2} - 35$ 。一阶条件给出 $q_{1} = 8$ 、 $q_{2} = 4$ 。利润函数的 Hessian 矩阵为负定对角矩阵，且该点满足销量非负约束，因此是唯一最大点。

代回反需求函数，得到 $p_{1} = 80$ 、 $p_{2} = 120$ 。

代入第一问求得的最优价格及销量，最优时总收入为 $80 \times 8 + 120 \times 4 = 1120$ ，总成本为 $35 + 40 (8 + 4) = 515$ 。

故最大利润为 $1120 - 515 = 605$ 。