记 $u=x+y,v=x-y,w=xy$，下标 $1,2,3$ 分别表示对 $u,v,w$ 求偏导，$f_{ij}$ 表示相应的二阶偏导数；并约定 $f_i$ 均在 $(u,v,w)=(x+y,x-y,xy)$ 处取值。

由 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x+\mathrm{d}y$、$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$、$\mathrm{d}w=y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y$，有 $\mathrm{d}z=f_1\mathrm{d}u+f_2\mathrm{d}v+f_3\mathrm{d}w$。

整理得 $\mathrm{d}z=(f_1+f_2+y{f}_3)\mathrm{d}x+(f_1-f_2+x{f}_3)\mathrm{d}y$。

沿用第一问的偏导下标记法。先求 $z_x=f_1+f_2+y{f}_3$，其中 $f_i$ 的自变量为 $(x+y,x-y,xy)$。

对 $y$ 求导并使用 $f_{ij}=f_{ji}$：$z_{xy}=f_{11}-f_{22}+(x+y)f_{13}+(x-y)f_{23}+xy{f}_{33}+f_3$。