2001 · 数学二 · 第 7 题 · 选择题 | 真题序

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设当

x \to 0

时，

(1 - cos x) ln (1 + x^{2})

是比

x sin x^{n}

高阶的无穷小，

x sin x^{n}

是比

e^{x^{2}} - 1

高阶的无穷小，则正整数

n

等于（　　）。

A
$1$
B
$2$
正确答案
C
$3$
D
$4$

答案

B

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当 $x \to 0$ 时，

(1 - cos x) ln (1 + x^{2}) x sin x^{n} e^{x^{2}} - 1 \sim \frac{1}{2} x^{4}, \sim x^{n + 1}, \sim x^{2} .

第一项比第二项高阶要求 $4 > n + 1$ ，第二项比第三项高阶要求 $n + 1 > 2$ 。因此 $1 < n < 3$ 。正整数 $n$ 只能为 $2$ ，故选 B。