2011 · 数学一 · 第 16 题 · 解答题

设函数

z = f (x y, y g (x))

，其中函数

f

具有二阶连续偏导数，函数

g (x)

可导且在

x = 1

处取得极值

g (1) = 1

，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} ∣_{x = 1 y = 1}

。

答案

$f_{1} (1, 1) + f_{11} (1, 1) + f_{12} (1, 1)$

查看解析展开

记 $f_{1}, f_{2}$ 为 $f$ 对第一、第二变量的一阶偏导， $f_{ij}$ 为相应二阶偏导。由 $g$ 在内点 $1$ 可导且取得极值，费马定理给出 $g^{'} (1) = 0$ ，并有 $g (1) = 1$ 。
令 $u = x y$ 、 $v = y g (x)$ ，则 $u_{x} = y$ 、 $v_{x} = y g^{'} (x)$ 、 $u_{y} = x$ 、 $v_{y} = g (x)$ 。先关于 $x$ 求导，得 $z_{x} = y f_{1} (u, v) + y g^{'} (x) f_{2} (u, v)$ 。再关于 $y$ 求导，乘积法则和链式法则给出

\frac{\partial z _{x}}{\partial y} = f_{1} + y [x f_{11} + g (x) f_{12}] + g^{'} (x) f_{2} + y g^{'} (x) [x f_{21} + g (x) f_{22}],

其中右侧所有 $f$ 的导数均在 $(u, v)$ 处取值。代入 $x = y = 1$ ，则 $(u, v) = (1, 1)$ ，含 $g^{'} (1)$ 的项全部消失，所求为 $f_{1} (1, 1) + f_{11} (1, 1) + f_{12} (1, 1)$ 。
这里仅用到 $g^{'}$ ，不需要假设 $g^{''}$ 存在；求第二次导数时， $f_{1} (u, v)$ 和 $f_{2} (u, v)$ 仍是复合函数，不能当作常数。

仍以 $f_{i}, f_{ij}$ 表示 $f$ 对其变量的偏导。先对 $y$ 求导，有 $z_{y} = x f_{1} (u, v) + g (x) f_{2} (u, v)$ ，其中 $u = x y$ 、 $v = y g (x)$ 。再对 $x$ 求导，得

\frac{\partial z _{y}}{\partial x} = f_{1} + x [y f_{11} + y g^{'} (x) f_{12}] + g^{'} (x) f_{2} + g (x) [y f_{21} + y g^{'} (x) f_{22}] .

由极值条件 $g^{'} (1) = 0$ ，代入 $x = y = 1$ 、 $g (1) = 1$ ，得到 $f_{1} (1, 1) + f_{11} (1, 1) + f_{21} (1, 1)$ 。 $f$ 具有二阶连续偏导，故 $f_{21} = f_{12}$ ，结果仍为 $f_{1} (1, 1) + f_{11} (1, 1) + f_{12} (1, 1)$ 。两种次序均直接计算，未假设复合函数 $z$ 的全部二阶偏导连续。