当 $x\to 0$ 时，

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+O(x^5),\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5).$$

因此

$$\arctan x-\sin x=-\frac{x^3}{6}+O(x^5),$$

除以 $x^3$ 后取极限，得到

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-\sin x}{x^3}=-\frac{1}{6}.$$