令 $r=-\frac{1}{2}$。在 $|r|<1$ 时，$\sum r^n=\frac{1}{1-r}$、$\sum n{r}^n=\frac{r}{(1-r{)}^2}$、$\sum n^2{r}^n=\frac{r(1+r)}{(1-r{)}^3}$。

代入 $r=-\frac{1}{2}$，三式分别为 $\frac{2}{3}$、$-\frac{2}{9}$、$-\frac{2}{27}$。故原级数的和为 $-\frac{2}{27}-(-\frac{2}{9})+\frac{2}{3}=\frac{22}{27}$。