函数 $x^3{\cos }^{2}x$ 为奇函数，在对称区间上的积分为零。

利用 ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{8}(1-\cos 4x)$，有

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\mathrm{d}x=\frac{1}{8}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 4x)\mathrm{d}x=\frac{\pi }{8}.$$