（1）积分变量$t$取遍$[0,1]$，参数$x>0$。分界点$t=x$是否落在积分区间内决定绝对值的拆法。当$0<x<1$时，

当$x\ge 1$时，对所有$t\in [0,1]$都有$t^2-x^2\le 0$，故$f(x)={\int }_0^1(x^2-t^2)\mathrm{d}t=x^2-\frac{1}{3}$。两段在$x=1$处都取值$\frac{2}{3}$，因此衔接连续。
（2）分段求导得$0<x<1$时$f^{\prime }(x)=4x^2-2x$，$x>1$时$f^{\prime }(x)=2x$。两段在$x=1$处的左右导数均为$2$，所以$f^{\prime }(1)=2$，即

（3）在$(0,1)$内，$f^{\prime }(x)=2x(2x-1)$，故$0<x<\frac{1}{2}$时导数为负，$\frac{1}{2}<x<1$时为正；在$x\ge 1$时导数也为正。因此$f$在$(0,\frac{1}{2}]$上递减、在$[\frac{1}{2},+\infty )$上递增，全局最小值在$x=\frac{1}{2}$处取得，且

$x=0$不在定义域中；$x=1$处的可导性及其右侧的递增性均已计入判断。