取 $a=0$。若 $f(x)=g(x)=1-x^2$，两函数均在 0 取极大值，乘积 $(1-x^2{)}^2$ 在 0 取极大值。

若 $f(x)=g(x)=-1-x^2$，两函数仍均在 0 取极大值，但乘积 $(1+x^2{)}^2$ 在 0 取极小值。

仍取 $a=0$，令 $f(x)=1-x^2$、$g(x)=-1-x^2-x^3$。在充分小的去心邻域内，$x^2>0$ 且 $x^2(1+x)>0$，故两函数均在 $0$ 处取极大值；但

其与 $-1$ 的差为 $-x^3(1-x-x^2)$，在 $0$ 两侧异号，所以乘积在 $0$ 处不取极值。

因此乘积在 $x=a$ 是否取极值以及极值类型不能由题设确定，选 D。