2016 · 数学二 · 第 18 题 · 解答题

设

D

是由直线

y = 1, y = x, y = - x

围成的有界区域，计算二重积分

\iint_{D} \frac{x ^{2} - x y - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} d x d y

。

答案

$1 - \frac{π}{2}$

查看解析展开

三条直线围成顶点为 $(0, 0), (1, 1), (- 1, 1)$ 的三角形，即 $D = {(x, y) : 0 \leq y \leq 1, - y \leq x \leq y}$ ，关于 $y$ 轴对称。在原点外， $∣ \frac{( x ^{2} - y ^{2} )}{( x ^{2} + y ^{2} )} ∣ \leq 1$ ， $∣ \frac{x y}{( x ^{2} + y ^{2} )} ∣ \leq \frac{1}{2}$ ；故被积函数有界，在原点任意赋值不影响积分。
拆成 $\frac{( x ^{2} - y ^{2} )}{( x ^{2} + y ^{2} )} - \frac{x y}{( x ^{2} + y ^{2} )}$ ，后一项关于 $x$ 为奇函数，在 $D$ 上积分为零。因此 $I = \iint_{D} \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} d x d y$ 。
用极坐标。两腰对应角度 $\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$ ，上边 $y = 1$ 对应 $r = \frac{1}{sin θ}$ ，故 $\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{3 π}{4}$ 、 $0 \leq r \leq \frac{1}{sin θ}$ 。分式化为 $cos 2 θ$ ，所以

I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} cos 2 θ d θ \int_{0}^{\frac{1}{sin θ}} r d r = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \frac{cos 2 θ}{2 sin ^{2} θ} d θ = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} (\frac{1}{2} csc^{2} θ - 1) d θ = [- \frac{1}{2} cot θ - θ]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} = 1 - \frac{π}{2} .

三条直线围成顶点为 $(0, 0), (1, 1), (- 1, 1)$ 的三角形，即 $D = {(x, y) : 0 \leq y \leq 1, - y \leq x \leq y}$ ，关于 $y$ 轴对称。在原点外， $∣ \frac{( x ^{2} - y ^{2} )}{( x ^{2} + y ^{2} )} ∣ \leq 1$ ， $∣ \frac{x y}{( x ^{2} + y ^{2} )} ∣ \leq \frac{1}{2}$ ；故被积函数有界，在原点任意赋值不影响积分。
拆成 $\frac{( x ^{2} - y ^{2} )}{( x ^{2} + y ^{2} )} - \frac{x y}{( x ^{2} + y ^{2} )}$ ，后一项关于 $x$ 为奇函数，在 $D$ 上积分为零。因此 $I = \iint_{D} \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} d x d y$ 。
用直角坐标，先对 $x$ 积分。对 $y > 0$ ，有

\int_{- y}^{y} \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} d x = \int_{- y}^{y} (1 - \frac{2 y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}}) d x = 2 y - 2 y [arctan \frac{x}{y}]_{- y}^{y} = 2 y - π y = (2 - π) y .

因此 $I = \int_{0}^{1} (2 - π) y d y = 1 - \frac{π}{2}$ 。边界 $y = 0$ 只有原点，不影响积分。