1995 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

设曲线

L

的方程为

y = f (x)

，且

y^{''} > 0

，又

M T, M P

分别为该曲线在点

M (x_{0}, y_{0})

处的切线和法线。已知线段

M P

的长度为

\frac{[ 1 + ( y _{0}^{'} ) ^{2} ] ^{\frac{3}{2}}}{y _{0}^{''}}

（其中

y_{0}^{'} = y^{'} (x_{0}), y_{0}^{''} = y^{''} (x_{0})

），试推导出点

P (ξ, η)

的坐标表达式。

答案

点 P 有两种可能的位置： $ξ = x_{0} - ε \frac{y _{0}^{'} [ 1 + ( y _{0}^{'} ) ^{2} ]}{y _{0}^{''}}, η = y_{0} + ε \frac{1 + ( y _{0}^{'} ) ^{2}}{y _{0}^{''}}, ε \in {- 1, 1}$

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令 $m = y_{0}^{'}$ 、 $a = y_{0}^{''} > 0$ 。切线的方向向量可取 $(1, m)$ ，因 $(1, m) \cdot (- m, 1) = 0$ ，法线方向向量可取 $(- m, 1)$ 。所以法线上的任意点可以写为

(ξ, η) = (x_{0}, y_{0}) + t (- m, 1), t \in R .

距离条件给出

∣ M P ∣ = ∣ t ∣ 1 + m^{2} = \frac{( 1 + m ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{a},

因此

t = ε \frac{1 + m ^{2}}{a}, ε \in {- 1, 1} .

代回并恢复原记号，得到

ξ = x_{0} - ε \frac{y _{0}^{'} [ 1 + ( y _{0}^{'} ) ^{2} ]}{y _{0}^{''}}, η = y_{0} + ε \frac{1 + ( y _{0}^{'} ) ^{2}}{y _{0}^{''}}, ε \in {- 1, 1} .

两个坐标中的 $ε$ 必须取同一个值。

两点分别位于 $M$ 沿法线的两侧，都满足垂直于切线及给定距离的条件。题面没有指定其中一个方向，因此必须保留两种位置。当 $y_{0}^{'} = 0$ 时，公式化为 $(ξ, η) = (x_{0}, y_{0} \pm \frac{1}{y _{0}}^{''})$ ，仍然成立。