2001 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

设

A

为

n

阶实对称矩阵，

r (A) = n

，

A_{ij}

是

A = (a_{ij})_{n \times n}

中元素

a_{ij}

的代数余子式（

i, j = 1, 2, \dots, n

），二次型

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = i = 1 \sum n j = 1 \sum n \frac{A _{ij}}{det ( A )} x_{i} x_{j}

。

(1) 记 $X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{T}$ ，把 $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 写成矩阵形式，并证明二次型 $f (X)$ 的矩阵为 $A^{- 1}$ ；
(2) 二次型 $g (X) = X^{T} A X$ 与 $f (X)$ 的规范形是否相同？说明理由。

答案

$f (X) = X^{T} A^{- 1} X$

相同。

设 $C = (A_{ij})$ 为代数余子式矩阵。由 $A$ 对称可知 $C$ 也对称，所以 $C = adj (A)$ 。

因 $r (A) = n$ ，矩阵可逆，且 $A^{- 1} = \frac{adj ( A )}{det A} = \frac{C}{det A}$ 。因此题中二次型的系数矩阵就是 $A^{- 1}$ ，并且 $f (X) = X^{T} A^{- 1} X$ 。

由第一问， $f (X)$ 的矩阵为 $A^{- 1}$ 。实对称可逆矩阵 $A$ 可正交对角化为 $diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ ，其中每个 $λ_{i} \neq = 0$ 。相应地， $A^{- 1}$ 的特征值为 $\frac{1}{λ _{i}}$ 。

$λ_{i}$ 与 $\frac{1}{λ _{i}}$ 符号相同，故 $A$ 与 $A^{- 1}$ 的正、负惯性指数相同。由惯性定理， $g (X)$ 与 $f (X)$ 的规范形相同。