被积函数非零当且仅当$0\le x\le 1$且$0\le y-x\le 1$。此时$f(x)g(y-x)=a^2$。

对应区域为$0\le x\le 1$、$x\le y\le x+1$，其面积为${\int }_0^1{\int }_x^{x+1}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=1$。

故$I=a^2$。