（1）记题设的有限极限为 $L<0$。由于 $f$ 在 $0$ 右连续，$f(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }[(\frac{f(x)}{x})x]=L\cdot 0=0$。
（2）由极限的保号性，存在 $\delta \in (0,1)$，使 $0<x<\delta$ 时 $\frac{f(x)}{x}<0$。取 $c\in (0,\delta )$，因 $c>0$，有 $f(c)<0$。
（3）$f$ 在 $[c,1]$ 连续，且 $f(c)<0<f(1)$。由零点定理，存在 $x_1\in (c,1)\subset (0,1)$，使 $f(x_1)=0$，故至少有一个实根。

（1）沿用前问得到的 $f(0)=f(x_1)=0$，其中 $0<x_1<1$。对 $f$ 在 $[0,x_1]$ 上使用罗尔定理，存在 $x_2\in (0,x_1)$，使 $f^{\prime }(x_2)=0$。
（2）注意 $[f{f}^{\prime }{]}^{\prime }=f{f}^{\prime \prime }+(f^{\prime }{)}^2$，令 $g=f{f}^{\prime }$。二阶可导保证 $g$ 连续且在区间内部可导。由前述零点，有 $g(0)=g(x_2)=g(x_1)=0$，且 $0<x_2<x_1<1$。
（3）分别对 $g$ 在 $[0,x_2]$、$[x_2,x_1]$ 使用罗尔定理，得到 ${\xi }_1\in (0,x_2)$、${\xi }_2\in (x_2,x_1)$，满足 $g^{\prime }({\xi }_1)=g^{\prime }({\xi }_2)=0$。也就是

两点分处互不相交的开区间，所以不同，且都在 $(0,1)$ 内。所证方程至少有两个不同实根。