1990 · 数学一 · 第 14 题 · 解答题

给定幂级数

n = 0 \sum \infty (2 n + 1) x^{n}

。

答案

$(- 1, 1)$

$\frac{1 + x}{( 1 - x ) ^{2}}, - 1 < x < 1$

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对一般项 $a_{n} = (2 n + 1) x^{n}$ 使用比值判别：

n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = ∣ x ∣.

因而当 $∣ x ∣ < 1$ 时收敛，当 $∣ x ∣ > 1$ 时发散。

在 $x = 1$ 时一般项为 $2 n + 1$ ，在 $x = - 1$ 时一般项为 $(2 n + 1) (- 1)^{n}$ ，两端的一般项都不趋于 $0$ 。

故收敛域为 $(- 1, 1)$ 。

当 $∣ x ∣ < 1$ 时， $n = 0 \sum \infty x^{n} = \frac{1}{( 1 - x )}$ ，求导并乘以 $x$ 得 $n = 0 \sum \infty n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$ 。

因此

n = 0 \sum \infty (2 n + 1) x^{n} = 2 \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}} + \frac{1}{1 - x} = \frac{1 + x}{( 1 - x ) ^{2}} .

和函数的定义域即该幂级数的收敛域 $- 1 < x < 1$ 。