2001 · 数学一 · 第 17 题 · 解答题

设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

为线性方程组

A x = 0

的一个基础解系，

β_{1} = t_{1} α_{1} + t_{2} α_{2}, β_{2} = t_{1} α_{2} + t_{2} α_{3}, \dots, β_{s} = t_{1} α_{s} + t_{2} α_{1}

，其中

t_{1}, t_{2}

为实常数。试问

t_{1}, t_{2}

满足什么关系时，

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

也为

A x = 0

的一个基础解系？

答案

$t_{1}^{s} - (- t_{2})^{s} \neq = 0$

每个 $β_{i}$ 都是基础解的线性组合，所以均为 $A x = 0$ 的解。它们构成基础解系当且仅当从 $(α_{1}, \dots, α_{s})$ 到 $(β_{1}, \dots, β_{s})$ 的循环系数矩阵可逆。

该矩阵可写为 $t_{1} E + t_{2} P$ ，其中 $P^{s} = E$ 是循环移位矩阵。其行列式为

\prod_{ω^{s} = 1} (t_{1} + t_{2} ω) = t_{1}^{s} - (- t_{2})^{s} .

因而所求条件是 $t_{1}^{s} - (- t_{2})^{s} \neq = 0$ 。

对实数而言：当 $s$ 为奇数时等价于 $t_{1} + t_{2} \neq = 0$ ；当 $s$ 为偶数时等价于 $t_{1} \neq = \pm t_{2}$ 。