（1）展开余弦函数。由对所有实数成立的麦克劳林展开，令 $t=2x$，得

$$\cos 2x=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}(2x{)}^{2k}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k{2}^{2k}}{(2k)!}{x}^{2k}.$$

此式只有偶次幂，奇次幂系数均为零。

（2）展开有理函数。在 $|x|<1$ 内，几何级数 $\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n$ 可以逐项求导，得到

$$-\frac{1}{(1+x{)}^2}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n}n{x}^{n-1}=\sum _{m=0}^{\infty }(-1{)}^{m+1}(m+1)x^m.$$

最后一步令 $m=n-1$。也可用牛顿二项展开，取指数 $-2$，由 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{m}\right)=(-1{)}^m(m+1)$ 得到相同结果。

（3）比较系数。两个级数在 $(-1,1)$ 内都绝对收敛，可以逐项相加。由幂级数展开的唯一性，当 $n$ 为奇数时，余弦展开不贡献该次项，而 $(-1{)}^{n+1}=1$，故 $a_n=n+1$；当 $n=2k$ 为偶数时，两式均有贡献，故

$$a_n=\frac{(-1{)}^k{2}^{2k}}{(2k)!}-(n+1)=\frac{(-1{)}^{\frac{n}{2}}{2}^n}{n!}-(n+1).$$

综上，

$$a_n=\{\begin{array}{ll}\frac{(-1{)}^{\frac{n}{2}}{2}^n}{n!}-(n+1),& n=0,2,4,\dots ,\\ n+1,& n=1,3,5,\dots .\end{array}$$

前几项为 $a_0=0$、$a_1=2$、$a_2=-5$、$a_3=4$、$a_4=-\frac{13}{3}$。直接将 $\cos 2x=1-2x^2+\frac{2}{3}{x}^4+\cdots$ 与 $\frac{1}{(1+x{)}^2}=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-\cdots$ 相减，也得到 $2x-5x^2+4x^3-\frac{13}{3}{x}^4+\cdots$。