2006 · 数学三 · 第 6 题 · 填空题

设总体

X

的概率密度为

f (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣} (- \infty < x < + \infty)

，

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

为总体

X

的简单随机样本，其样本方差为

S^{2}

，则

E S^{2} =

。

答案

$2$

标准样本方差 $S^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - X)^{2}$ 满足 $E (S^{2}) = Var (X)$ 。

由密度的对称性 $E (X) = 0$ ，且

E (X^{2}) = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{0} x^{2} e^{x} d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{+ \infty} x^{2} e^{- x} d x = 2.

因此 $Var (X) = 2$ ，从而 $E (S^{2}) = 2$ 。