在 $x=0$ 邻域，$\ln (1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^{k-1}\frac{x^k}{k}$，故 $x^2\ln (1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^{k-1}\frac{x^{k+2}}{k}$。

当 $n\ge 3$ 时，$x^n$ 的系数为 $\frac{(-1{)}^{n-3}}{(n-2)}$。因此 $f^{(n)}(0)=\frac{n!(-1{)}^{n-3}}{(n-2)}$。