1997 · 数学一 · 第 17 题 · 解答题

设

a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{1}{a _{n}}), n = 1, 2, \dots

。

(1) 证明： $n \to \infty lim a_{n}$ 存在；
(2) 证明：级数 $n = 1 \sum \infty (\frac{a _{n}}{a _{n + 1}} - 1)$ 收敛。

答案

第 1 问

证明见解析

第 2 问

证明见解析

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第 1 问

由 $a_{1} = 2 > 1$ ，且 $a_{n + 1} - 1 = \frac{( a _{n} - 1 ) ^{2}}{2 a _{n}} \geq 0$ ，归纳得 $a_{n} \geq 1$ 。又因 $a_{n} > 1$ ，有 $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1 - a _{n}^{2}}{2 a _{n}} < 0$ 。

故 ${a_{n}}$ 单调递减且下有界，极限存在。设极限为 $L$ ，则 $L = \frac{( L + \frac{1}{L} )}{2}$ ，结合 $L \geq 1$ 得 $L = 1$ 。

第 2 问

由第一问的单调性和下界， $a_{n} \geq a_{n + 1} \geq 1$ ，各项非负，且 $0 \leq \frac{a _{n}}{a _{n + 1}} - 1 = \frac{a _{n} - a _{n + 1}}{a _{n + 1}} \leq a_{n} - a_{n + 1}$ 。

再由第一问的极限， $n = 1 \sum N (a_{n} - a_{n + 1}) = a_{1} - a_{N + 1} \to 2 - 1 = 1$ ，故由比较判别法，所给正项级数收敛。