令 $t=\sqrt{{\mathrm{e}}^{2x}-1}$，则 ${\mathrm{e}}^x=\sqrt{1+t^2}$、$\mathrm{d}x=\frac{t}{1+t^2}\mathrm{d}t$，上下限由 $0,\ln 2$ 变为 $0,\sqrt{3}$。

原积分化为

因此结果为 $\ln (2+\sqrt{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}$。