令 $t={\mathrm{e}}^x$，则 $x=\ln t$，由已知关系得到 $f^{\prime }(t)=\frac{\ln t}{t}$。

积分得 $f(t)=\frac{1}{2}{\ln }^{2}t+C$。

由 $f(1)=0$ 得 $C=0$，故 $f(x)=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x$（$x>0$）。