真题序
首页
真题库
关于
跟随系统
返回真题库
计算曲面积分
I
=
∬
Σ
x
z
d
y
d
z
+
2
z
y
d
z
d
x
+
3
x
y
d
x
d
y
，其中
Σ
为曲面
z
=
1
−
x
2
−
4
y
2
(
0
≤
z
≤
1
)
的上侧。
答案
π
查看解析
展开
收起
曲面投影到
D
=
{(
x
,
y
)
:
x
2
+
4
y
2
≤
1
}
,
z
=
1
−
x
2
−
4
y
2
.
上侧方向的面积向量满足
(
d
y
d
z
,
d
z
d
x
,
d
x
d
y
)
=
(
−
z
x
,
−
z
y
,
1
)
d
x
d
y
=
(
2
x
,
2
y
,
1
)
d
x
d
y
.
代入
P
=
x
z
,
Q
=
2
z
y
,
R
=
3
x
y
，并利用
x
y
项在椭圆域上的对称性，
I
=
∬
D
(
2
x
2
+
y
2
)
(
1
−
x
2
−
4
y
2
)
d
x
d
y
.
令
x
=
r
cos
θ
,
y
=
2
r
sin
θ
，则
I
=
∫
0
2
π
∫
0
1
(
2
r
2
cos
2
θ
+
4
r
2
sin
2
θ
)
(
1
−
r
2
)
2
r
d
r
d
θ
=
π
.