对 ${\mathrm{e}}^{xy}-xy=2$ 求导，得 $({\mathrm{e}}^{xy}-1)(y+x{y}^{\prime })=0$。原方程排除了 $xy=0$，故 $y^{\prime }=-\frac{y}{x}$。

将 $\frac{\sin t}{t}$ 在 $t=0$ 处按连续值 $1$ 补定义。原积分等式的左端为正，故 $x-z\ne 0$。在 $\sin (x-z)\ne 0$ 的点，隐函数定理保证 $z$ 局部可导；对积分等式求导得

若 $\sin (x-z)=0$，有限的 $z^{\prime }$ 会使前一等式右端为零而左端为正，因此此处不存在有限的 $z^{\prime }$，上述除法公式不适用。

由链式法则 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=f_x+f_y{y}^{\prime }+f_z{z}^{\prime }$，代入上式即得

其中各偏导数均在 $(x,y,z)$ 处取值。