由 $f^{\prime }(0)>0$，可取 $c>0$ 及足够小的 $\delta >0$，使得当 $0<|x|<\delta$ 时，$\frac{f(x)-f(0)}{x}>c$。

当 $x\in (0,\delta )$ 时，$f(x)-f(0)>0$，所以 $f(x)>f(0)$。

因此必然成立的是选项 C；导数只在 $0$ 点给出信息，不能保证邻域内单调。