由 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}\ge 0$ 与 $z=x$，得 $x\ge 0$、$2x^2+y^2=2$。曲线在 $xy$ 平面上的投影 $C$ 是椭圆的右半支，从 $(0,\sqrt{2})$ 经 $(1,0)$ 到 $(0,-\sqrt{2})$。
沿曲线 $z=x$、$\mathrm{d}z=\mathrm{d}x$，且 $z^2-x^2=0$，故被积式化为

两端点的 $\frac{(x^2+y^2)}{2}$ 均为 $1$，全微分项积分为零，因而 $I={\int }_C(y+x^2{y}^2)\mathrm{d}x$。
补上 $y$ 轴上从 $(0,-\sqrt{2})$ 到 $(0,\sqrt{2})$ 的线段 $C_0$，其上 $\mathrm{d}x=0$，补线积分为零。闭路 $C+C_0$ 为右半椭圆盘 $D$ 的顺时针边界。令 $P=y+x^2{y}^2$、$Q=0$，用负向格林公式，得

$D$ 关于 $x$ 轴对称，$2x^{2}y$ 关于 $y$ 为奇函数，其积分为零。椭圆半轴为 $1,\sqrt{2}$，所以 $I=|D|=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}$。