记 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，由原向量组为基知 $P$ 可逆。按照各个 ${\beta }_i$ 的表示系数，有

沿第二列展开，$|C|=2[2(k+1)-2k]=4\ne 0$，故 $PC$ 可逆。因此三个 ${\beta }_i$ 线性无关，构成 $R^3$ 的一组基，且此结论对任意实数 $k$ 都成立。

设 $\xi$ 在两组基下的共同坐标为 $x$。坐标相同意味着 $Px=PCx$。因 $P$ 可逆，等价于 $(C-E)x=0$；又 $\xi \ne 0$ 等价于 $x\ne 0$，故要求此齐次方程有非零解。

所以存在所求向量当且仅当 $k=0$。此时方程为 $x_1+x_3=0,x_2=0$，全部非零解是 $x=t(-1,0,1{)}^T$，$t\ne 0$。换回向量本身，得 $\xi =Px=t({\alpha }_3-{\alpha }_1)$。由于原向量组线性无关，${\alpha }_3-{\alpha }_1\ne 0$。当 $k=0$ 时也有 $-{\beta }_1+{\beta }_3={\alpha }_3-{\alpha }_1$，故这些向量在两组基下的坐标确实相同。