令 $u=x$、$v=y-x$，由可微函数的链式法则，

此时 $u-v=2x-y$、$u+v=y$，代入题设关系，得 $g_x(x,y)=2(2x-y){\mathrm{e}}^{-y}$。

由第（1）问，固定 $y$ 对 $x$ 积分，得 $g(x,y)=(2x^2-2xy){\mathrm{e}}^{-y}+C(y)$。积分常数可依赖 $y$。条件 $f(u,0)=u^2{\mathrm{e}}^{-u}$ 在新变量下对应 $y=x$，因此 $g(x,x)=C(x)=x^2{\mathrm{e}}^{-x}$，从而 $C(y)=y^2{\mathrm{e}}^{-y}$。
故 $g(x,y)=(2x^2-2xy+y^2){\mathrm{e}}^{-y}$。由逆变换 $x=u,y=u+v$，得

该式满足给定边界值；其偏导为 $f_u=(2u-u^2-v^2)E$、$f_v=(2v-u^2-v^2)E$，其中 $E={\mathrm{e}}^{-(u+v)}>0$，两式相减也满足原偏导关系。
令两偏导为零，得 $2u=u^2+v^2=2v$，所以 $u=v$，再代入得 $u=0$ 或 $1$。全部驻点为 $(0,0)$、$(1,1)$。记 $h=u^2+v^2$，求二阶偏导得

在 $(0,0)$ 处，$A=C=2$、$B=0$，判别式为 $4>0$ 且 $A>0$，为极小值点，极小值为 $0$。亦可由 $f\ge 0$ 看出这是全局最小值。
在 $(1,1)$ 处，$A=C=0$、$B=-2{\mathrm{e}}^{-2}$，判别式为 $-4{\mathrm{e}}^{-4}<0$，所以是鞍点。所求函数光滑且已穷尽驻点，故没有极大值。